Как сделать чтобы не грелся трансформатор с 220 V на 12 V?

Мощность нагрузки должна соответствовать мощности, на которую рассчитан трансформатор.

Лампочка - довольно мощный потребитель энергии. Если это обычный сетевой трансформатор (рассчитанный на 50 Гц), то с компактного транса много не снять - мощность трансформатора пропорциональна объёму сердечника и частоте (именно поэтому импульсные источники питания столь компактны: у них высокая рабочая частота , поэтому можно в сотни и тысячи раз снизить объём сердечника). Значит, если вот этот транс, который у вас, греется, то он просто слишком маленький для вот этой лампочки. Физически маленький. Надо взять трансформатор большего объёма, он сможет выдать бóльшую мощность.

Как вариант, можно взять два трансформатора на половинное выходное напряжение и соединить выходные обмотки последовательно. Соединять их параллельно нельзя, дело может закончиться пожаром. Трансформатор - это источник напряжения, его выходное сопротивление в идеале близко к нулю. И параллельное соединение означает, что вы замыкаете друг на друга два источника напряжения. Поскольку не бывает двух абсолютно идентичных источников, то между ними всяко будет какая-то разница напряжений. И что получится, если эту, даже небольшую, разницу разделить на 0?

Как ещё один вариант, и даже предпочтительный, можно взять бестрансформаторный блок питания на нужное выходное напряжение и нужную мощность (мощность, ясен пень, надо брать с некоторым запасом). Типа тех, что идут в комплекте к светодиодным светильникам.