Как пишется: бабуле или бабули?

Все будет зависеть от контекста предложения. Слово "бабуля" это одушевлённое существительное в именительном падеже, женского рода, а "бабули" это множественное число. Рассмотрим на примере предложений, например:

Мальчик часто писал своей бабуле письма. (в данном предложении слово "бабуле" стоит в дательном падеже", поэтому следует писать "е" на конце слова).

Когда сын вернулся от бабули, он был опечален. (в данном случае наше слово в родительном падеже, так как задаём вопрос к "от кого?" - бабули).

Он думал о бабуле. (в данном случае имеем предложный падеж, "о ком?"- бабуле).