Как проверить на компе скачанный скрипт сайта? Как посмотреть будущий сайт?

Смотря на каком языке скрипт.

Если обычный Javascript, то запускаете его обычным браузером.

Чтобы Javascript запустился, он должен быть встроен в теги, как полагается в .html файлах. Для проверки его на ошибки, запустите его в браузере Mozilla FireFox. В нём есть инструменты для проверок на ошибки.

Если же серверный скрипт, например PHP, Piton, VBScript, ASP и т.п., то чтобы проверить, нужен либо эмулятор сервера, либо среда разработки с возможностью отладки.

Проверить можно и на сервере. Есть хостинги, где дают пробный бесплатный период, например неделю. Можете таким образом бесплатно за неделю проверить свой скрипт на самом сервере.