Играя или играючи: как правильно говорить? Почему?

1) От глагола "играть" легко образуется деепричастие несовершенного вида -- играя.

Оно общеупотребительно в нашей современной речи, примеров можно привести множество, в том числе и у наших классиков. Например, только у Льва Толстого в романе "Анна Каренина" довольно часто употребляется это деепричастие:

Думаю, этих примеров достаточно, не буду приводить свои, каждый сам может заметить, что употребляет это слово в своей речи.

2) От этого же глагола "играть" образовано деепричастие при помощи суффикса "-ючи" -- играючи.

Однако такая форма считается устаревшей, обычно (и довольно часто) она используется в русском фольклоре, например, в былинах. В былине "Вольга и Микула" есть эпизод, где рассказывается о богатырской силе Микулы, которая "позволяет ему играючи, одной рукой выдернуть сошку из земли".

3) Есть в нашем русском языке и глагол "играться", но он считается разговорным, что означает вполне допустимым его употребление вполне допустимо в непринужденном разговоре, в бытовой обстановке, в остальных же случаях (в официальной речи, в деловых бумагах) правильно использовать стилистически нейтральный глагол "играть" и формы от этого глагола.

Играясь со своими куклами, девочка совершенно забыла об уроках.