Как пишется: легковесный­ или легковестный­? Какое проверочное слово?

Заданное сложное имя прилагательное имеет прямое значение предмета с небольшим, недостаточным весом, то есть напрямую связано именно с весом. Оно и образовано соединением двух слов при помощи соединительной гласной "о", в нем два корня -- легк- от прилагательного "лёгкий" и существительного вес-.

Так что проверочным является само существительное вес, а следовательно, сложное прилагательное правильно писать

(да и произносить) без совершенно лишней буквы "т" -- легковесный.

Сундук был легковесный, но громоздкий.

Кроме прямого значения, слово имеет и переносное, например, легкомысленного, поверхностного человека так называют.

Или: легковесная книга, которую я прочитала в поездке, тут же забылась. Это о малосодержательной книге.