Как повлияет на работу интернета отключение прокси в браузере?

На работу Интернета пользователь вообще повлиять не может. Интернет это глобальная сеть. А вот повлиять способ на получение какого либо контента вы в состоянии. Обычно прокси-сервера используются для контроля трафика в организациях или для защиты от слежения. Если на сайте вас просят отключить прокси - значит им сильно интересно ваше местоположение и информация, передаваемая обозревателем. Ваш выбор - проделиться информацией или нет. На мой взгляд излишнее любопытство надо пресекать. Даже портал государственных услуг не против использования прокси.

P.S. Отключение прокси сервера в организации обычно чревато последствиями в виде отсутствующего доступа к сети Интернет.