Как правильно пишется выражение Между прочим или Между прочем?

Предлог "между" - одновалентный, он может быть употреблён только с существительными в одном падеже - творительном. Между кем и кем? или между чем и чем? "Берёзка росла между дубом и сосной", "Между пятиэтажными домами стоял небольшой нарядный магазинчик".

Слово "прочее" в творительном падеже пишется и читается как "прочим". "Старая юбка была выброшена вместе с прочим тряпьём", "Тетрадь каким-то образом оказалась в чулане, с газетами, тряпками, битой посудой и прочим барахлом".

Вводное слово "между прочим" как раз и означает - между делом, между прочими обстоятельствами. "Между прочим, он ещё и рисует хорошо". Поэтому писать надо через "и" - "между прочим".