Как правильно пишется слово не покатишь?

Слово, о правописании которого задан вопрос, отвечает на вопрос что сделаешь? и называет действие, следовательно, является глаголом.

1) данный глагол употребляется без не, поэтому по общему правилу правописания не с глаголами отрицательную частицу не пишем отдельно.

2) в этом глаголе морфема по- является приставкой, поскольку приставки па- в современном русском н нет, в первом безударном слоге пишем гласную о.

3) в третьем слоге ( безударном ) безударная гласная находится в личном окончании глагола, глагол ( начальная форма прокатить ) относится ко второму спряжению. В форме будущего времени второго лица единственного числа окончание будет -ишь с гласной и.

4) поскольку перед нами форма будущего времени второго лица единственного числа на конце после шипящей ш нужно писать мягкий знак.

На основании всех вышеизложенных пунктов правильно нужно писать не покатишь.