Перед какой иконой можно исповедаться дома?

По идее не перед какой. Исповедь - это то, что делает именно человек. Священнику дано такое право. Он типа проводник.

При этом я верю в то, что искркнняя молитва будет услышана.

Она обязательно дойдет до Бога