Чем отличается спустить уголовное дело, от закрыть?

Разница вполне формализуемая, и она банальна.

Закрыть уголовное дело есть процедура, предусмотренная Уголовно-процессуаль­ным кодексом. Дело может быть закрыто следователем, если в ходе расследования выяснится отсутствие события преступления, или отсутствие состава преступления в действиях фигуранта, или по ходу дела изменится законодательства, и само действие, по которому дело возбуждено, окажется декриминализированны­м (как сейчас модно говорить). В конце концов, дело может быть закрыто и судом, и тоже по многим прописанным в законе мотивам.

А вот спустить дело - процедура, в законе не прописанная (если только не имеется в виду "спустить дело по инстанции", то есть передать его в нижестоящие органы дознания). Чаще всего "спустить дело" означает некое корыстное действие, направленное на затруднение объективного расследования, или вообще на прекращение дела, без достаточных законных оснований. Ну, там, свидетели обвинения внезапно отказываются от своих показаний, протоколы допросов и осмотров чудесным образом исчезают или изменяются, улики теряются или, наоборот, появляются новые, радикально меняющие всю картину, акты экспертиз переделываются... способов много. Но всяко а) эти действия незаконны и уводят следствие в сторону, и б) совершаются не за просто так.