Можно ли выселить молодую мать из квартиры, если там прописан её ребёнок?

Только через суд.

И то маловероятно.

Если у дочери или внучки нет другого, собственного жилья и они фактически проживают по этому месту регистрации - шансов у родителей нет, они не смогут добиться, чтобы суд признал дочь и внучку утратившими право пользования жильем и снятия с регистрации. Суд обычно становится на сторону несовершеннолетнего.

Кроме того, нам неизвестно, как и когда была приобретена квартира родителями.

Вполне возможно, что у дочери имеется право на бессрочное пользование.

К тому же, они все - члены семьи собственника, а не люди с улицы, суд тоже это учитывает.

Как и не смогут выписать мать, а ее ребенка оставить. По закону, несовершеннолетний регистрируется по месту жительства одного из родителей, и только.

ГК РФ, статья 20, п 2

Суды, как правило, отказывают в удовлетворении дедушкам-бабушкам в снятии с регистрационного учета их внуков до 18 лет.

Так что, без согласия матери, да еще, если органы опеки подключатся, никуда они не смогут выписать дочь и перепрописать ее ребенка, как пишет Nina-iz-daleka, полная чушь с элементами оскорбления.