Как правильно писать (по другому , по-другому,или подругому)?

Из названных вариантов лишь два могут быть правильными: "по-другому" и "по другому". И в данном случае мы имеем дело с разными частями речи.

Слово, написанное через дефис - это наречие. И пишется оно так в соответствии с правилом:

Пример употребления данного слова (наречия) видим в предложении:" Мы не могли поступить по-другому".(Поступи­ть как?)

Вариант "по другому" является формой определительного местоимения ДРУГОЙ.Правда, есть лингвисты, которые относят данное слово к прилагательным. Но в любом случае перед нами слово с предлогом, который, кстати, относится к существительному, являющемуся определяемым по отношению к данному. Например: "Надо ехать по другому шоссе". Шоссе какому? Слово ДРУГОМУ мы можем опустить, тем самым убедимся, что ПО - это именно предлог. Кроме того, слово "другому" вместе с определяемым можно употребить в иной форме, например, в именительном падеже (другое шоссе). При этом, как видим, предлог, не используется.