По вазам разложили 60 яблок и 60 персиков. Какое число ваз использовали?

Не знаю, для какого это класса задачка, но скажу честно - заставляет задуматься.

Данную задачу, конечно, можно решить методом подбора, но можно попробовать и какую-то "научность" добавить.

Вот, например, сразу понятно, что возможное количество ваз должно выбираться из ряда чисел, на которое число 60 делится без остатка. Это такие числа, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Ну первый вариант исключаем сразу. Да и последние два тоже: в этих случаях сразу видно, что не хватит персиков, чтобы положить их в вазы по разному их числу.

Итак, минимальное количество ваз определилось: в 2 вазы можно положить по 30 яблок, а уж персики можно комбинировать, как того хочется - 29+31, 25+35 и т.д.

Но нас интересует максимальное число возможных для использования ваз. Предположим, что в каждую вазу положили по N штук яблок. Тогда ваз будет 60/N. Количество персиков в этих вазах тоже будет по N штук в среднем. Чтобы этого достичь, в двух вазах должно находиться 2N штук персиков. Это может получиться, если в одну вазу мы положим, например, (N+1) персик, а в другую - (N-1), в следующие две вазы разложим по (N+2) и (N-2) персика и так до некоторой величины К: (N+К) и (N-К). Отсюда видим, что К изменяется от 1 до N (в последнем случае у нас во второй вазе персиков не будет, а в первой будет их удвоенное количество). Следовательно, таким распределением можно полностью загрузить только 2N-1 (в последней вазе, как я показал, будет 0 персиков), или же (2*(N-1) + 1). То есть групп ваз с удвоенным средним количеством персиков (2N) тоже будет N. А количество персиков в них будет равно 2N*N = 2N^2.

И если это число превысит 60 - значит разложить получится, а если меньше 60 - вариант не подойдет.

Другими словами, должно выполняться неравенство: 2N^2 > 60 или N^2 > 30.

И тут сразу видно, что первое число, удовлетворяющее этому условию - 6. Значит яблоки надо раскладывать по 6 штук в вазу. То есть ваз потребуется 10 штук.

Проверяем. При N = 6 вазы персиками можно заполнять (см. выше) так: 5 и 7, 4 и 8, 3 и 9, 2 и 10, 1 и 11.

Для надежности действенности теории можно проверить и другие варианты.

Для 20 ваз N=3 и 2N^2 = 18, что меньше 60. И действительно, персики удастся разложить только в часть ваз: 2 и 4, 1 и 5, 6 персиков в вазе. То есть всего в 5 ваз без повторов количества. Не подходит.

Для 15 ваз N=4 2N^2 = 32 - опять меньше 60. Варианты сортировки: 3 и 5, 2 и 6, 1 и 7, 8. Только в 7 вазах могут не повторяться.

Для 12 ваз N=5 2N^2 = 50 - и снова меньше 60. Не повторяющиеся варианты раскладки такие: 4 и 6, 3 и 7, 2 и 8, 1 и 9, 10. Всего 9, а не 12.

Для 10 уже рассмотрено, а с меньшим числом ваз проблем не будет.

Правильный ответ: (Г) - 10.