Как пишется: услыша, услышав, услышив или услышавши­? Почему?

Деепричастие совершенного вида от глагола "услышать" образуется в полном соответствии с правилами нашего русского языка,

то есть от основы прошедшего времени глагола при помощи суффиксов "-в, -вши".

В любом случае конечная гласная основы перед самими суффиксами сохраняется, то есть вариант "услышив" с гласной "и" перед суффиксом сразу же исключается из предложенных.

Остальные три варианта вполне имеют право на их употребление.

И тому много примеров из художественной литературы, от великих русских мастеров слова.

Вот из басни "Осёл и соловей" Крылова строчка:

Пушкин, "Капитанская дочка":

Гоголь, повесть "Шинель":

Однако в современном литературном языке предпочтительней употреблять слово "услышав".

Это нейтральная форма, употребляющаяся в любом функциональном стиле языка.

И пример-предложение от Достоевского, "Преступление и наказание":

И также в деловой речи, разговорной и т.п. Например.

Услышав Вашу точку зрения, я обязательно учту это при составлении отчёта.

Услышав звуки приближающихся шагов, девушка быстро повернула голову.