Как решить дифференциальное уравнение (y^2-x^2)dy+2xydx?

Пусть дано дифференциальное уравнение

(y²–x²)•dy+2xy•dx=0.

Разделим это уравнение на xy≠0. Получим:

[(y/x)–(x/y)]•dy+2•d­x=0.

Сделаем замену t=y/x. Тогда y=tx, dy=t•dx+x•dt. Подставив эти выражения в последнее уравнение, получим:

[t–(1/t)]•(t•dx+x•dt­)+2•dx=0, или

(t²+1)•dx+x•[t–(1/t)­]•dt=0=>(t²+1)•dx=x•[ (1/t)–t ]•dt.

Разделяя переменные в полученном уравнении, а затем интегрируя обе части получившегося выражения, получим:

[(1–t²)/((1+t²)•t)]•­dt=dx/x,

ln|t|–ln|t²+1|=ln|x/­C1|=>t/(t²+1)=x/C1.

Проведя обратную замену t=y/x, после некоторых преобразований, получим два общих решения исходного дифференциального уравнения:

y=[C1±√(C1²–4x²)]/2=­C±√(C²–x²), C=C1/2.