Как решить дифференциальное уравнение 2yy''+(y')^2 = 0?

Делаешь замену v=y'. Затем подставляешь в уравнение. У тебя получается:

2yv+v²=0.

Затем преобразуешь полученное уравнение:

v(2y+v)=0.

Это уравнение распадается на два:

v=y'=0 и 2y+v=0.

Решаешь первое:

y'=dy/dx=0=>dy=0,y1=­C1=const.

Решаешь второе:

2y+y'=0=>y'=dy/dx=–2­y, dy/y=–2dx,

ln|y|=–2x+C3=>y2= exp(–2x+C3)=exp(C3)•­exp(–2x)=C2•exp(–2x), где C2=exp(C3).

Таким образом, общие решения дифференциального уравнения будут следующими:

y1=C1, y2=C2•exp(–2x).