Как пишется: письменно или письмено?

Как всегда, начну со словообразовательной цепочки для наглядности: пис/ать => пись/мо => письм/енн/ый => письменно.

Итак, из этой цепочки видно, что заданное слово образуется от имени прилагательного "письменный", а оно образовано от от имени существительного при помощи суффикса "-енн-".

Есть правило, регламентирующее в таким образом образованных от существительных прилагательных писать два "н".

Есть и еще одно правило в русском языке, которым необходимо воспользоваться дальше.

Оно касается правописания наречий (и кратких форм прилагательных), образованных от полных форм прилагательных: в указанных словах пишется столько же "н", сколько их есть в производящем прилагательном.

Поэтому и наречие заданное правильно написать (и всегда так писать) с двумя "н" -- письменно.

Эту работу по литературе преподаватель задала выполнить письменно.