Задача. Сколько времени рабочий шел пешком?

Условие очень схоже с задачей об Ахиллесе и черепахе.

Воспользуемся этим алгоритмом для решения поставленной задачи.

Путь от ж. д. вокзала до работы занял на 40 минут больше обычного, иначе на работу рабочий приехал бы на час раньше, а не на 20. Следовательно, автобус отъехал от вокзала через 40 минут после прихода электрички, а рабочий прошел за это время некоторое расстояние. Пусть скорость автобуса в десять раз больше пешехода. Тогда это расстояние автобус проедет за 4 минуты. В свою очередь за 4 минуты, что ехал автобус, рабочий удалится на 1/10 первоначально пройденного пути. Автобус проедет этот путь за 0,4 минуты, а пешеход за это время пройдет дополнительно еще1/100 часть начального пути, и так далее. В результате время движения пешим ходом составит:

t = 40 + 4 + 0,4 + 0,04 + 0,004 + …= 44,444 … (минуты).

Запишем решение в общем виде, пусть k = V₁/V₂ - отношению скоростей автобуса и пешехода:

t = 40(1/k⁰ + 1/k¹ + 1/k² + 1/k³ + … + kⁿ) = 40(k/(k - 1)).

Имеем сумму, бесконечно убывающего геометрического ряда.

Вычислим время пешего хода для варианта, когда скорость автобуса больше пешехода в 5 раз:

t = 40(5/(5 - 1)) = 40*1,25 = 50 (минут).

Как видим, для решения задачи в условии не достает значения k.

Рассмотрим второй вариант решения.

Обозначим T- время движения автобуса на всем пути S, t₁ - время его движения на участке пути после посадки пассажира (S - S₂), где S₂ - расстояние пройденное рабочим пешим ходом, за время t₂. В соответствии с условием имеем уравнение:

t₁ + t₂ = Т + 40.

Представим его в другом виде:

(S - S₂)/ V₁ + S₂/ V₂ = S/V₁ + 40.

После преобразований приходим к аналогичному результату:

t₂ = 40(V₁/(V₁ - V₂)) = 40(k/(k - 1)).