Задача. Какие утверждения про учащихся школы 1 и 2 верные?

Допустим, в первой школе тест писало n учеников, и набранные ими баллы равны соответственно а(1), а(2), ... а(n-1), a(n). В этом случае средний балл составляет

(а(1) + а(2)+ ... + а(n-1) + a(n))/n.

При переходе одного ученика, писавшего тест, в другую школу средний балл составит уже

(а(1) + а(2)+ ... + а(n-1))/(n-1). И если предположить, что он удвоился, то должно быть соблюдено следующее равенство.

а(1) + а(2)+ ... + а(n-1))/(n-1) = 2*а(1) + 2*а(2)+ ... + 2*а(n-1) + 2*a(n))/n или

(n - 2)*a(1) + (n - 2)*a(2) + ... + (n - 2)*a(n-1) + (2*n - 2)*a(n) = 0.

Учитывая, что n ≥ 2 и а(i) - натуральное,

(n - 2)*a(1) + (n - 2)*a(2) + ... + (n - 2)*a(n-1) ≥ 0 и (2*n - 2)*a(n) ≥ 2,

(n - 2)*a(1) + (n - 2)*a(2) + ... + (n - 2)*a(n-1) + (2*n - 2)*a(n) ≥ 2.

Получили противоречие. Стало быть, после перевода одного из тестируемых в другое учебное заведение, средний балл в первой школе удвоиться не может.

Чтобы не загормождать решение длинными записями, обозначим первоначальный средний балл в первой школе - р. Если после перевода средний балл в каждой школе вырос на 10%, то

1,1*р = (р*n - a(i))/(n - 1), откуда

а(i) = p*(11 - n)/10.

Учитывая, что a(i) - натуральное, n < 11.

Если изначальный средний балл во второй школе равен единице, то поскольку количество баллов, набранных каждым учащимся, натуральное число, каждый из тестируемых второй школы получил по единице. Тогда

1,1 = (51 - n + a(i))/(52 - n), из чего

a(i) = (62 - n)/10. Так как n < 11, a(i) будет натуральным только при n = 2. Тогда a(i) = 6, p = (a(1) + 6)/2 и

1,1*(a(1) + 6)/2 = а(1) или

а(1) = 22/3, что невозможно, поскольку по условию оно должно быть натуральным.

Значит, первоначальный средний балл во второй школе не мог быть равным 1.

Обозначим минимально возможный средний балл второй школы q. Тогда

1,1*q = (q*(51 - n) + a(i))/(52 - n) или

a(i) = q*(62 - n)/10. Как мы выяснили ранее, при увеличении на 10% среднего балла в каждой школе после перевода ученика из первой школы возможно только при n = 2. Стало быть, a(i) = 6*q и тогда

1,1*(а(1) + 6q) = a(1),

a(1) = 22*q/3.

Очевидно, что минимальным натуральным значением q, при котором а(i)также натуральное, является 3.

Таким образом, наименьшим значением первоначального среднего балла во второй школе является 3.

Итак, верные ответы:

а) нет,

б) нет;

в) 3.