Почему настежь пишется с мягким знаком, а свеж без него?

В данном вопросе речь идет о различных частях речи: "настежь" является наречием, "свеж"-кратким прилагательным. Корректность правописания мягкого знака после шипящих на конце наречий предполагают запоминание любого из двух правил:

а) После шипящих в конце слова мягкий знак ПИШЕТСЯ.

Имеются три исключения: уж, замуж, невтерпеж.

б) После Ш и Ч мягкий знак ПИШЕТСЯ, после Ж мягкий знак НЕ ПИШЕТСЯ. Исключение: слово настежь.

После такого удара он упал навзничь.

Уж как ей хотелось иметь такой дом!

Из распахнутого настежь окна доносились крики толпы.

На конце кратких прилагательных после шипящих мягкий знак НЕ ПИШЕТСЯ. Исключений нет.

Весенний воздух чист и свеж.