Башеный или башенный - как правильно пишется?

Слово "башня" обозначает предмет, отвечая на вопрос "что?", то есть это имя существительное.

Оно изменяемое, относится к первому типу склонения как существительное женского рода с окончанием "-я".

Отделяя это окончание, видим значимую часть слова, корень "башн-". Если образовать однокоренные слова, например, "башен/к/а", то этот корень приобретет еще одну буковку -- беглый гласный "е".

Он помогает произносить это новое слово более удобно, без всякого напряжения из-за нагромождения неудобопроизносимых согласных звуков, для чего и "прибегает" в слово.

Точно так же этот беглый гласный появляется и в однокоренном прилагательном "башен/ный", образуемом при помощи очень даже продуктивного суффикса прилагательных "-н-". Поэтому в заданном слове и пишется удвоенный согласный -- один на конце корня, второй -- присоединяемый суффикс прилагательного.

Примерами такого написания прилагательных служат образованные от существительных однокоренные:

весна - весенний, песня - песенный.