ХодяЩие или ходяЧие — как правильно говорить и писать?

В своё время (в Древней Руси) эти оба слова обозначали одно и то же, но с разницей в происхождении: ходячий - русское, а ходящий - старославянское. Позднее слова разошлись в лексическом значении и морфологии, хотя и остались однокоренными родственными. Кстати, буква "щ" в суффиксах или корнях - признак старославянизма, напр., свечение - освещение, вече - вещание.

Правил использования нет, нужно просто исходить из речевого контекста в целом.

По каждому слову отдельно.

Ходячий (какой?) - отглагольное прилагательное (от "ходить"), обозначает постоянный признак, напр., В этой палате лежат только ходячие больные, Ходячая истина.

В определённом контексте слово может употребляться в роли субстантивированного прилагательного/в роли существительного: Его перевели из реанимации к ходячим (к кому?).

Ходящий (что делающий? какой?) - действительное причастие/форма глагола, т.е. словоформа глагола несовершенного вида "ходить" (что делать?), обозначает добавочное действие, непостоянный признак, напр., Человек, ходящий по струнке, всегда всего боится.

При этом замечу, что причастия вообще - явление старославянского языка, проникшее в русский.