Воспрянуть или воспрять: как написать без ошибки, проверить?

В вопросе оба слова написаны орфографически правильно, но разница в другом.

Из этих двух вариантов глаголов один просторечный, правда, часто употребляющийся.

Верный, нормативный - "воспрянуть" (что сделать?), имеет книжный оттенок, во всех формах сохраняется буква "н" суффикса, напр., он воспрянул духом, мы воспрянули духом, воспрянь, воспряну и т.п.

По лицам и числам он изменяется так:

я, ты, он/она/оно воспрянул, мы, вы, они воспрянули.

По крайней мере, в актуальных лингвистических словарях фиксируется только форма с суффиксом "-ну-".

Смотрим, например, набор личных форм этого глагола в грамматическом словаре А. Зализняка: