Чем плоха дата рождения 03.06?

Это явное суевение, не имеющее никакого отношения к Христианству.

Наоборот, это замечательная дата рождения.

В этот день празднуется день Равноапостольных Констанитина и Елены

То есть детей можно называть этим именем. Девочку Еленой, а мальчика Константином. Константины зачастую обладают постоянством и основательностью.

У имени Елена тоже нет какого-то "осадка испорченности" (к сожалению, одним распространенным русским именем за рубежом называют нехороших женщин легкого поведения). Име Лена - красивое.

В этот день нет крупного многодневного поста, и поэтому не будет сложности для празднования Дня Рождения.

Начало лета. Уже поспевает редиска и иногда первая земляника. Появляется зелень.

У школьников начинаются летние каникулы. Но еще обычно, никто не успел разъехаться. Дата удобная во всех отношениях.