Какая разница между умалишенным человеком и сумасшедшим?

Разница весьма существенная. И это видно из самой конструкции слов.

Умалишённый, это человек лишённый ума, то есть, не имеющий ума с рождения. Как правило по генетическим причинам или из-за вредных привычек родителей.

Сумасшедший же раньше имел ум, но "сошёл" с него. То есть, он может родиться и вырасти вполне нормальным, но потом из-за травмы, болезни, итп, стать клиентом психиатрической клиники.