Как правильно писать: бронежилет или бронижилет?

Это сложное имя существительное, образованное сложением части слова "броневой" и целого слова "жилет" с помощью интерфикса (соединительная гласная) "е".

По правилам русского словообразования при таком способе используется "е", если конечный согласный первой части мягкий, и "о" - если твёрдый.

Сравните: солерастворитель (л* - мягкий, соединительный гласный "е"), дымоход (м-твёрдый, соединительный гласный - "о").

Верное написание запрашиваемого слова - бронежилет (н* мягкий).