Как правильно пишется: разаслать или разослать?

Здесь необходимо разобраться с морфемным составом представленного глагола.

Есть в русском языке глагол "слать" и очень много однокоренных глаголов (и также существительных, прилагательных) с разными приставками, например, вы/слать, пере/слать, при/слать, по/слать, за/слать, до/слать, недо/слать, нис/по/слать.

Употребляется в речи и глагол с приставкой "раз-**, но произносить-то слово с ней неудобно.

Тогда вместо этой приставки употребляется приставка с добавлением гласной "о" -- разо-. Значение её то же самое, что и у приставки без добавленной гласной. Зато слово удобней в произношении получается.

Есть и правила на этот счет, вернее, несколько случаев, когда вместо приставки "раз-" пишется приставка "разо-".

Один из них относится и к глаголу "слать", который начинаются с сочетания согласных "сл", поэтому к приставке, оканчивающейся на согласный и добавляется гласный "о". Только такой гласный, никакой другой не добавляется.

Например: гнать-разогнать, злить - разозлить, ткань - разоткать.

Ответ на Ваш вопрос: правильно писать разослать.

Директор сказал, что эту информацию нужно разослать побыстрее.