Как найти синус угла между плоскостями в кубе?

Треугольники AB1D1 и А1ВС1 равносторонние, две стороны которых попарно пересекаются в точках F и N (центрах граней куба). Линия, соединяющая эти точки, отображает пересечение плоскостей исходных треугольников и является их средней линией. Следовательно A₁FN и B₁FN правильные треугольники со стороной равной половине диагонали грани куба √2/2.

Проведем высоты А₁О = В₁О = √6/4.которые образуют искомый угол А₁ОВ₁ = α. Три стороны треугольника А₁ОВ₁ известны. Тогда по теореме косинусов определяем соs α:

1² = (√6/4)² +(√6/4)² - 2(√6/4)²соs α;

соs α = -1/3.

Далее, используя формулу связи тригонометрических функций одного аргумента, вычисляем sin α:

sin α = √(1 – (-1/3)²) = 2√2/3.