Почему твёррдый звук Ж получается чересчур выразительным?

Он и должен быть выразительным. Русский звук [ж] - твёрдый звонкий согласный. По способу образования - щелевой свистящий. Совершенно непонятно, как Вы собираетесь получить его, поставив речевой аппарат в позицию для произнесения (пост)альвеолярного аппроксиманта (сонорного), каковым и является английский [r]. Ну да, оба - щелевые, но по одному лишь этому аспекту сближать совершенно разные звуки нельзя.

Он не может быть слишком твёрдым. Мягким был древнерусский [ж'], но с тех пор прошло очень много веков, и даже в Одессе сейчас так не говорят (если не рассматривать ряженых псевдоодесских клоунов).

Объяснять звуки на пальцах - дело неблагодарное. Лучше послушать логопеда: