Слова сквер и скверна - есть ли общие корни?

Нет. Это слова разного происхождения, хоть и оба - иностранного. Слово "скверна" пришло в русский язык раньше, с него и начнём. Это слово - общеславянское, но корень был заимствован у греков, с принятием христианства. Он звучит приблизительно как "скор" и обозначает грязь, нечистоты. В русском языке оно видоизменилось и приобрело такой вид.

А "сквер" - пришло из Англии, уже в 19 веке. У англичан это слово обозначает "четырёхугольный", и первоначально было эпитетом к определённому виду парков. У нас же это слово стало означать просто небольшой общественный сад в городе (в отличие от парков, без развлекательных аттракционов), а какой он формы - неважно.