Как поступить, если не удается дозвониться родственнику на День Рождения?

Воспользовался бы как минимум одни из следующих вариантов:

1. Во-первых судя по вводным нет возможности только позвонить, но вот отправить смс, или другое послание вполне есть шансы - так что я бы так и сделал, поздравив в сообщении, указав в нем стихотворение, или любое поздравление от души.
2. Социальные сети, мессенджеры - это все сейчас решает, благодаря им можно поздравлять людей, причем не тратя деньги и время на звонки и разговоры.
3. Отправка телеграммы, либо бумажного письма , конечно это уже чуть более устарело, но до сих пор люди этим пользуются.

Это конечно не все варианты, явно возможны еще несколько десятков вариантов.