Останитесь или останетесь? Как писать правильно? Почему?

В вопросе идет речь о правописании безударной гласной.

Слово, в котором находится орфограмма, называет действие и отвечает на вопрос что сделаете? ( глагольный вопрос ), значит, является глаголом.

Безударная гласная стоит в окончании слова. Правописание личных окончаний глаголов зависит от их спряжения, которое определяется по неопределенной форме ( инфинитиву ).

Начальная форма глагола из вопроса - остаться ( что сделать? ). Это глагол на -ать, к исключениям не относится, следовательно, относится к первому типу спряжения.

В вопросе мы имеем дело в формой изъявительного наклонения будущего времени второго лица множественного числа, глаголы первого спряжения в этой форме имеют окончание -ете.

Правильный вариант написания останетесь.