Как правильно пишется насущный или насущьный? Почему?

Правильно писать НАСУЩНЫЙ. В этом слове есть сочетание -ЩН- в котором не пишется мягкий знак. Похожие сочетания -чк-,-чн-. Буквы Ч и Щ обозначают всегда мягкие непарные звуки, поэтому при написании мягкий знак не используется. Похожие примеры: овощной, хищник, свечка, синичка, вечность.

Обратные сочетания -нч-, -щн- также пишутся без мягкого знака. Например: пончик, гонщик