Почему надо писать компанИя, но аккомпанЕмент?

И в том и в другом слове общий корень - ком. Корень этот Русский и означает понятие соединить, собрать в кучку. Сравните - комок, комкать.

Позднее этот корень (как и многое другие) просочился в языки латинской группы.

В том же качестве. И там корень "com" также означает что-то .... скажем так ... совместное.

Теперь смотрим на примеры из вопроса:

1. Компания - то есть кучка из нескольких человек, объединённых каким-то интересом.
2. Аккомпанемент - вид музыки, которая играется преимущественно аккордами (разные звуки, взятые одновременно) и сопровождает голос певца, то есть составляет ему компанию.

А все остальное - суффиксы и окончания, которые пишутся по своим правилам.