Как пишется правильно: бегавший или беговший? Почему?

Как действительное причастие прошедшего времени (а именно таковое рассматривается здесь), это слово образуется от основы прошедшего времени производящего глагола "бегать". Основа же от этой формы -- "бега-".

Суффикс "-л-" отсекается, после конечного гласного "а" основы прибавляется соответствующий суффикс "-вш-" (и окончание "-ый"). Так и получается заданное причастие, в котором остается суффикс от глагола "-а-" и добавляется суффикс причастия.

Вот такой морфемный состав слова бег/а/вш/ий -- корень/суффикс/суффи­кс/окончание.

Бегавший по воде у берега озера маленький ребенок весело смеялся от удовольствия.