Какой вопрос можно сравнить с известным Быть или не быть?
Если имеются ввиду вопросы от писателей (классиков и не очень), озвученные ими в своих произведениях, то я бы назвала следующие:
"Кто виноват?" (с 1846 года) - от дядечки Александра Герцена (революционного философа, философствующего революционера в числе прочей деятельности), являющийся названием "одного из первых русских социально-психологич
"Что делать?" (с 1863 года) - от дядечки Николая Чернышевского (проявившего себя во многих областях деятельности, как-то - рев-демократ, теоретик критического утоп-социализма, философ-материалист и пр...), так же вынесенный в название оч-популярного в свое время романа, являющегося как-бы ответом Тургеневским "Отцам и детям". Более того, данный вопрос, в качестве названия одного из своих трудов (от 1902 года), взят вождем русской революции Лениным, и сей труд был переведен на множество языков.
Данные вопросы, на мой взгляд, даже более вопрошаемы в нашей отчизне и по сей день, чем Шекспировский вопрос.
"Кому на Руси жить хорошо (?)" (с 1873 года) - хотя у автора, дядечки Некрасова в заголовке и нет вопросительного знака, но именно в качестве вопроса данная авторская формулировка жива и частенько употрибима среди простого русского населения и по сей день (наверняка, данный вопрос будет актуален и популярен еще немало долгих лет, возможно и столетий)
"А судьи кто?" (с 1833 года) - от очень творческого и многогранного русского дворянина Александра Грибоедова. Данный вопрос, озвученный в известном монологе максималистом Чацким ("Горе от ума") прочно укоренился в списке фразеологизмов, и будет жить еще долго.
"А был ли мальчик? " (с 1926 года) - от товарища Максима Горького (то бишь Алексея Пешкова, ̶т̶р̶а̶к̶т̶о̶р̶и̶с̶т
"Что день грядущий мне готовит?" ( ≈ с 1830 года) - от "нашего все" Александра Пушкина. Данный вопрос (из стиха Владимира Ленского, писанного им перед дуэлью в романе "Евгений Онегин") так же прочно укоренился среди фразеологизмов, часто и охотно употребляется гражданами, тем более, что актуальность данного вопроса вечна.
"Камо грядеши?" (усеченный вариант от "Камо грядеши, Господи?"/Quo vadis, Domine? (лат), первоисточник - Евангелие от Иоанна ). Широкую популярность и хождение в массах данный вопрос обрел по написании одноименного романа польским писателем Генриком Сенкевичем (с 1896 ) и последующим экранизациям романа.
________________
Есть, конечно, в лит-произведениях и еще масса вопросов, ставших афоризмами и широко используемых народными массами, но все их не напишешь, да и многие из них более узкоспецифичны, чем приведенные.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим