Каков принцип работы и устройство логарифмической линейки времен СССР?

Принцип простой: умножение чисел заменяется сложением логарифмов чисел.

Вспоминаем школьную алгебру: lg (ab) = lg a + lg b.

Сложение чисел "геометрически" можно реализовать как смещение начальной точки линейки. Если, к примеру, 5 см отсчитывать не от нуля шкалы, а от точки 4 см на какой-то реперной шкале, сместив всю линейку, то отметка "5" на этой подвижной линейке окажется напротив отметки "9" на неподвижной. А если мы теперь учтём, что эта "5" и эта "4" на самом деле логарифмы каких-то чисел, то "девятка" тоже будет логарифмом произведения оных чисел. Всё, что для этого нужно, - проградуировать шкалы нелинейно. Тогда, если начало подвижной шкалы (движка) совместить с каким-то числом - памятуя, что реальная позиция соответствует логарифму этого числа, - то напротив нужной нам отметки на движке, которая тоже соответствует логарифму второго сомножителя, окажется их произведение.

Это базовое свойство логарифмической линейки. Всё остальное - шкала квадратов и, иногда, кубов, шкала тригонометрических функций и т. д. - это дополнительные бонусы, надетые на вот эту базовую функцию.