По уму или поуму, как правильно пишется это слово и почему?

Касаемо правильного написания этого выражения, то однозначно могу высказать своё личное субъективное мнение в том смысле, что правильное написание именно раздельное, то есть вот такое.

• По уму.

Говоря честно, не нашёл специального правила, регламентирующее именно такое вот написание, но абсолютно точно могу сказать, что именно "по уму" в раздельном варианте встретил по меньшей мере в десяти источниках в интернете.

Если привести пример предложения, то вот.

• По уму, все школьники, которые собираются поступать в высшие учебные заведения и учиться в них,, должны уметь правильно и грамотно излагать свои мысли в письменной форме.