По божески или побожески, как правильно пишется слово и почему?

То, о чём Вы спрашиваете, пишется не в соответствии ни с первым, ни со вторым предположенными Вами вариантами. Правильно писать это наречие (что собой и представляет слово, о котором здесь идёт речь) через дефис: "по-божески".