По прошествии или попрошествии, слитно или раздельно пишется и почему?

(По)прошествии может относится к разным частям речи.

Это может быть наречием, а может в предложении выступать в качестве производного отыменного предлога.

Но какой бы частью речи (по)прошествии ни являлось в предложении на слитное/ раздельное написание это не влияет. В любом случае написание будет раздельным ( в два слова ), это необходимо запомнить.

По прошествии нескольких лет эта неприятная история стала постепенно забываться, только старожилы порой вспоминали о ней весьма некстати.

По прошествии пары месяцев мы потихоньку стали привыкать к новым местам, к новым условиям и новому климату, но иногда все же вспоминали, как хорошо нам жилось до переезда.