Как пишется: обезличивание или абизличеванье. Почему?

Пишется обезличивание. Насчёт начальной приставки "а", а не "о", я ответил Вам в другом Вашем вопросе. Далее идёт приставка "без". Пишется "без " просто потому что приставки "биз" - не существует. Окончание "ние" или "нье" - это на Ваш выбор, это зависит от общего стиля изложения. Насчёт суффиксов "ива" и "ева", тоже есть какое-то правило, но я его не помню, и где-то искать - не хочется. Сами найдите в учебнике о правописании этих суффиксов.