Как пишется: пробившиеся или прабившиеся, дочерний или дачерний?

Правильно "пробившиеся", так как слово образованно с помощью приставки про- (приставка пра- употребляется только для того,чтобы показать дальность родства. Например ПРАбабушка, ПРАдедушка и т.д.).

Правильно "дочерний", так как можно подобрать проверочное слово "дочь" в котором ударение падает на букву "О", следовательно, пишем "дочерний".