Почему музыкальный конкурс «Евровидение» со временем, стал политическим?

Потому что этот конкурс международный, привлекает внимание большого количества населения, а кроме того способ определения победителей на нём - через голосование множества зрителей и "профессионального" назначаемого и достаточно ангажированного жюри отдельного от каждой страны.

А политика как раз и есть столкновение множества интересов множества людей представляющих множество интересов стран, классов, слоёв населения и так далее.

Само то слово произошло от греческого "πολιτικός", где "πολι" (поли) означает множество, а "τικός" (тикос) — интерес. То есть «множество интересов». Ну а люди, которые не интересовались политикой, не интересовались и не участвовали в политической жизни своего города и страны, назывались ιδιοτικός (идиотикос).