Если родня настаивает на продолжении лечения, могут выписать из больницы?

В больнице лежит кто? - вы.

Значит вы и должны говорить о своем желании выписаться или, наоборот, остаться лечиться дальше.

Родня в данном случае для врачей не должна являться авторитетом.

Врачи сами знают, когда выписывать и стараются делать это как можно раньше, чтобы пациент как можно меньше лежал и занимал койко-место.