Что изменилось бы в геополитике, если бы Аляска осталась с Россией?

В геополитике ничего бы не изменилось.

Потому что геополитика - пошлая лженаука фашистского или околофашистского пошиба, ровным счётом ничего общего с реальностью не имеющая. Кроме попыток "научно обосновать" те или иные территориальные претензии.

Если же говорить о международной политике и влиянии принадлежности Аляски на дела в мире, то понятно, что до конца первой мировой войны Аляска пребывала бы в таком же первобытном состоянии, в котором находился тогда и весь Дальний Восток. Золото? А что золото? В Магадане также была "золотая лихорадка" в начале 20 века, но только позднее и в совсем другой обстановке удалось наладить системную и полноценную добычу "жёлтого металла".

Точно так же было бы и в этом случае. Если бы удалось, конечно, избежать оккупации Аляски канадскими или американскими войсками в конце 1910-х годов. Для развития других отраслей хозяйства и даже для использования региона в военных целях ситуация была бы похожей. "Слишком далеко, слишком дорого, слишком хлопотно".

А вот в послевоенный период произошли бы кардинальные перемены. Именно "геополитического" характера. Потому как окрестности Фэрбенкса и Анкориджа превратились бы в очень удобные позиции для особых бомбардировщиков, а позже - и для МБР, и для подводных лодок место бы нашлось.

Сейчас же - при таком раскладе событий, как описан в вопросе - это был бы ещё один аналог Калининградского эксклава.