
Как правильно пишется слово самолюбивы ? Почему?

Краткое прилагательное, стоящее в вопросе в форме множественного числа, является сложным словом.
Напомню, сложными называются слова, в состав которых входит два и более корня. Корни соединяются в слово чаще всего при помощи соединительной гласной ( интерфикса ). В русском языке в роли интерфикса выступает гласная о или е, но не а или и. Поэтому во втором безударном слоге пишем гласную о, она соединяет корни -.сам- и -люб-.
В первом безударном слоге пишем гласную а, так это безударная гласная в корне слова проверяемая ударением, проверочное слово - сам.
В третьем безударном слоге , если очень постараться, вместо ю можно написать другую гласную. Эта орфограмма - безударная гласная в корне проверяемая ударением, проверочное слово - любит.
Слово правильно пишется самолюбивы.