Как пишется продолжим?

Весьма маловероятно, что кто-то станет ломать язык, чтобы произнести продолжЕм. Хотя всякое возможно - не все владеют грамотной речью и пишут к тому же так, как произносят. Какого-то особого грамматического правила, кроме знания склонений глагола "продолжать", не требуется.

В совершенном виде будущего времени склонение имеет следующий вид:

Я продолжу

Ты продолжишь

Он продолжит

Мы продолжим

Вы продолжите

Они продолжат

Кроме того, "продолжим" может использоваться и в повелительном наклонении, как приглашение к продолжению какого-либо действия.

Интереснее слово "продолжите". При написании его действительно можно допустить ошибку.