Липкие руки после мытья, о каком заболевании это может свидетельствовать?

Чаще всего аллергия. Возможно инфекционной этиологии. То есть, либо аллергия на компоненты мыла. Либо, возможно аллергия на какую-то инфекцию, возможно руки, может даже укус насекомого.

Врач, если попадется любопытный, сначала назначит анализы нужные крови и возможно выявит причину. Видите, как много тут возможного и предположений.

P.S. Еще. Посмотрите, нет ли среди компонентов мыла пальмового масла. Это такая липкая гадость! Отмывается с трудом, забивает пищеварительный тракт ... одни проблемы от него!