Жалтеть, жилтеть или желтеть как правильно писать, почему?

Глагол неопределённой формы, о котором Вы спрашиваете, правильно писать в соответствии с третьим предположенным Вами вариантом, через Е: желтеть. Проверить можно словом "жёлтый".

Осенью листья стали желтеть.