Можно ли делать рокировку королём и ферзём?

Невозможно.

В рокировке участвует только король и одна из ладей при совокупности следующих условий:

1) ни король, ни ладья еще не делали ходов;

2) между ними нет фигур, все поля пустые.

3) поля между ними не битые, не контролируются фигурами противника.

4) король на момент рокировки не под ударом. Уходить от шаха посредством рокировки нельзя.

При этом король передвигается на два поля в сторону ладьи, а она встает рядом с ним с противоположной стороны. Так, после длинной рокировки позиция такая: король стоит на с1(с8), а ладья на d1(d8). После короткой король g1(g8), ладья f1(f8). И рокировка - это ход королем, что учитывается, если используется правило "взялся-ходи".